如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛-九年级数学
题文
| 如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高． （1）抛物线y=  x2对应的碟宽为 ；抛物线y=4x2对应的碟宽为 ；抛物线y=ax2（a＞0）对应的碟宽为 ；抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碟宽为 ；（2）抛物线y=ax2﹣4ax﹣  （a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线y=anx2+bnx+cn（an＞0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3…），定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn﹣1的相似比为 ，且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．①求抛物线y2的表达式； ②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn，则hn= ，Fn的碟宽有端点横坐标为 2 ；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．  |
答案
（1）4；1； ；． |
试题分析：（1）根据定义可算出y=ax2（a＞0）的碟宽为 、碟高为 ，由于抛物线 可通过平移y=ax2（a＞0）得到，得到碟宽为、碟高为，由此可得碟宽、碟高只与a有关，与别的无关，从而可得．（2）由（1）的结论，根据碟宽易得a的值． （3）①根据y1，容易得到y2． ②结合画图，易知h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直线x=2上，可以考虑hn∥hn﹣1，且都过Fn﹣1的碟宽中点，进而可得．画图时易知碟宽有规律递减，由此可得右端点的特点．对于“F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？”，我们可以推测任意相邻的三点是否在一条直线上，如果相邻的三个点不共线则结论不成立，反之则成立，所以可以考虑基础的几个图形关系，利用特殊点求直线方程即可． 试题解析：（1）4；1； ；．∵a＞0， ∴y=ax2的图象大致如下：  其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB． ∵△DAB为等腰直角三角形，AB∥x轴， ∴OC⊥AB， ∴∠OCA=∠OCB=  ∠AOB=×90°=45°，∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形， ∴AC=OC=BC， ∴xA=-yA，xB=yB，代入y=ax2， ∴A（﹣ ，），B（，），C（0，），∴AB= ，OC=，即y=ax2的碟宽为 ．①抛物线y= x2对应的a=，得碟宽为4；②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽为 为；③抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为 ；④抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形， ∵平移不改变形状、大小、方向， ∴抛物线y=a（x﹣2）2
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