题文

如图所示的抛物线是把y=-x2经过平移而得到的．这时抛物线过原点O和x轴正向上一点A，顶点为P，∠OPA=90°； ①求抛物线的顶点P的坐标及解析表达式； ②求如图所示的抛物线对应的二次函数在- 1 2 ≤x≤ 1 2 时的最大值和最小值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵抛物线由y=-x2平移得到， ∴设y=-（x-a）2+b（a＞0） ∵抛物线过（0，0），代入得0=-a2+b， ∴b=a2，y=-（x-a）2+a2 过P作PM⊥x轴于M，OM=a，PM=a2 ∵P是抛物线顶点， ∴PO=PA， ∴OM=AM，PM= OA 2 =OM， ∴a2=a， ∴a=1或a=0（舍去）， ∴P（1，1），抛物线的解析式为y=-（x-1）2+1=-x2+2x； （2）∵由（1）可知抛物线的顶点P（1，1），解析式为y=-（x-1）2+1=-x2+2x， ∴抛物线对应的二次函数在- 1 2 ≤x≤ 1 2 时，当x= 1 2 时，y最大=- 1 4 +2× 1 2 = 3 4 ； 当x=- 1 2 时，y最小= 1 4 -2× 1 2 =- 3 4 ．

据专家权威分析，试题“如图所示的抛物线是把y=-x2经过平移而得到的．这时抛物线过原点O和..”主要考查你对  二次函数的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。