题文

如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、AC上，且使得四边形APQR是矩形，设AP的长为x，矩形APQR的面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）。

（1）求AB的长； （2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值。 为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？ 李明：因为抛物线上的点（x，y）是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么，（12，36）表示当AP=12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系。 赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！ 孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了。 请根据上述对话，帮他们解答这个问题。

题型：计算题  难度：中档

答案

解：（1）当时， ∴， 又在中，， ∴ ∴ ∴； （2）若，则，， ∴， 整理得， ∴ 当时，。

据专家权威分析，试题“如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=，点P在线段AB上运动，点Q、R分别..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值解直角三角形

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。