题文

有一种产品的质量分成6种不同档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件；如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品． （1）若最低档次的产品每件利润17元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？并求最大利润． （2）由于市场价格浮动，生产最低档次的产品每件利润可以从8元到24元不等，那么生产哪种档次的产品所得利润最大？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设生产第x档次的产品，获得利润为y元，则y=[40-2（x-1）][17+（x-1）] 即y=-2(x- 5 2 )2+684.5 ∴当x=2.5时，y的最大值为684.5 ∵x为正整数 ∴x=2时，y=684，x=3时，y=684， ∴当生产第2档次或第3档次的产品时所获得利润最大，最大利润为684元； （2）设生产最低档次的产品每件利润为a元，生产第x档次的产品，获得利润为y元， 则y=[40-2（x-1）][a+（x-1）] 即y=-2(x- 22-a 2 )2+ a2+40a+400 2 ∴当x= 22-a 2 时，y最大= a2+40a+400 2 = (a+20)2 2 ∵8≤a≤24，x为1到6的整数， ∴ 22-a 2 ＞0，a取最大值时，y最大， ∴a＜22， ∴要使y最大，必须a=20，即x= 22-20 2 =1， 即生产第1档次的产品所得利润最大．

据专家权威分析，试题“有一种产品的质量分成6种不同档次，若工时不变，每天可生产最低档..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x