题文

设x为实数，则函数y= 3x2+6x+5 1 2 x2+x+1 的最小值是______．

题型：填空题  难度：中档

答案

将函数y= 3x2+6x+5 1 2 x2+x+1 整理为关于x的一元二次方程得： （y-6）x2+（2y-12）x+2y-10=0，（y-6≠0）， 由x为实数， ∴△=（2y-12）2-4（y-6）（2y-10）≥0， 化简得出不等式y2-10y+24≤0， 解得4≤y≤6（y≠6）， 当y取最小值4时，x=-1， ∴分式的最小值为4． 故答案为：4．

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二次函数的最大值和最小值

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。