题文

实数x、y满足 x+y=3a-1 x2+y2=4a2-2a+2 ，求xy的最小值和最大值．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵2（x2+y2）≥（x+y）2， ∴2（4a2-2a+2）≥（3a-1）2， 即a2-2a-3≤0， ∴-1≤a≤3； xy= 1 2 [（x+y）2-（x2+y2）]= 1 2 （5a2-4a-1） 令f（a）=5a2-4a-1，则f(a)=5(a- 2 5 )2- 9 5 ， 故当a= 2 5 时，f（a）有最小值- 9 5 ，当a=3时有最大值32． 故xy的最小值为- 9 10 ，最大值为16．

据专家权威分析，试题“实数x、y满足x+y=3a-1x2+y2=4a2-2a+2，求xy的最小值和最大值．-数..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。