题文

已知二次函数y=(a- b 2 )x2-cx-a- b 2 ，当x=1时有最小值- 8 5 b，其中a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由并求出∠A的余弦值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵当x=1时有最小值， ∴ b+c=2a c= 3 5 b ， 解得c= 3 5 b，a= 4 5 b， ∴a2+c2=b2， ∴△ABC是直角三角形． （2）∵在△ABC中，∠B=90°， ∴cosA= c b = 3 5 ．

据专家权威分析，试题“已知二次函数y=(a-b2)x2-cx-a-b2，当x=1时有最小值-85b，其中a，..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值，勾股定理的逆定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值勾股定理的逆定理

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。