题文

甲、乙、丙、丁四人分别按下列的要求作一个解为x1，x2的一元二次方程x2+px+q=0． 甲：p，q，x1，x2都取被3除余1的整数； 乙：p，q，x1，x2都取被3除余2的整数； 丙：p，q取被3除余1的整数，x1，x2取被3除余2的整数； 丁：p，q取被3除余2的整数，x1，x2取被3除余1的整数； 问：甲、乙、丙、丁是否能按上述要求各自作出方程？若可以作出，请你写出一个这样的方程，若不能作出，请你说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵甲、乙、丙、丁四人分别按下列的要求作一个解为x1，x2的一元二次方程x2+px+q=0． 甲：p，q，x1，x2都取被3除余1的整数； 假设x1=3n+1，x2=3m+1， ∵x1+x2=-p=3n+1+3m+1=3（m+n）+2， ∴3（m+n）+2被除3余2，即-p被除3余2， ∴不能按上述要求作出方程； 乙：p，q，x1，x2都取被3除余2的整数； 假设x1=3n+2，x2=3m+2， ∵x1+x2=-p=3n+2+3m+2=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1， ∴3（m+n+1）+1被除3余1，即-p被除3余1， ∴不能按上述要求作出方程， 丙：p，q取被3除余1的整数，x1，x2取被3除余2的整数； 假设x1=3n+2，x2=3m+2， ∵x1+x2=-p=3n+2+3m+2=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1， ∴3（m+n+1）+1被除3余1，即-p被除3余1， ∵x1x2=q=（3n+2）（3m+2）=9mn+3n+3m+4=3（3mn+m+n+1）+1， ∴3（3mn+m+n+1）+1被除3余1，即q被除3余1， ∴能按上述要求作出方程， 例如：x2-13x+40=0，等（答案不唯一） 丁：p，q取被3除余2的整数，x1，x2取被3除余1的整数； 假设x1=3n+1，x2=3m+1， ∵x1+x2=-p=3n+1+3m+1=3（m+n）+2， ∴3（m+n）+2被除3余2，即-p被除3余2， ∵x1x2=q=（3n+1）（3m+1）=9mn+3m+3n+1=3（3mn+m+n）+1， ∴3（3mn+m+n+1）+1被除3余1，即q被除3余1， ∴不能按上述要求作出方程．

据专家权威分析，试题“甲、乙、丙、丁四人分别按下列的要求作一个解为x1，x2的一元二次..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。