题文

已知1999个自然数a1，a2，…，a1999满足条件：其中任意两数的和能被它们的差整除．现设n=a1a2…a1999，证明：n，n+a1，n+a2，…，n+a1999这2000个数仍满足上述条件．

题型：解答题  难度：中档

答案

因为任意两数的和能被它们的差整除，所以这1999个自然数的奇偶性相同，所以任意两数的和或差为偶数； 由题意知对于1999个自然数a1，a2，…，a1999满足条件：ai-aj|ai+aj（i、j=1、2、3、4…1999且i≠j）， 可推出ai-aj只有等于2时，才能任意两数的和能被它们的差整除． 因此对于2000个数n，n+a1，n+a2，…，n+a1999对于任意一个数与n的差为ak（k=1，2，3…1999），显然能整除它们的和； 对于任意一个数与其它数的差为ai-aj=2，其和为（2n+ai+aj），也一定被2整除． 综上所知n，n+a1，n+a2，…，n+a1999这2000个数仍满足条件：其中任意两数的和能被它们的差整除．

据专家权威分析，试题“已知1999个自然数a1，a2，…，a1999满足条件：其中任意两数的和能被..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。