方程有两个相等实数根；
定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。

根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
  事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
  
  决定与y轴交点的因素:
  常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
  二次函数图像与y轴交于（0,C）
  注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。
  
  与x轴交点个数：
  a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
  k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
  a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
  当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
  当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k
  当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。

考点名称：轴对称

• 轴对称的定义：
  把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。

• 轴对称的性质：
  （1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
  （2）对应线段相等，对应角相等；
  （3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。

• 轴对称的判定：
  如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
  这样就得到了以下性质：
  1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
  2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
  3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　
  4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

  轴对称作用:
  可以通过对称轴的一边从而画出另一边。
  可以通过画对称轴得出的两个图形全等。
  扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

  轴对称的应用:
  关于平面直角坐标系的X,Y对称意义
  如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。
  相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。

  关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )
  设二次函数的解析式是 y=ax²+bx+c
  则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b²)/4a

  在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。
  譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；
  矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；
  正方形，菱形问题经常添设对角线等等。
  另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，
  或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。