题文

如图二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得线段AB长为6. （1）利用二次函数的对称性直接写出点A、B的坐标为：A（，）；B（，）； （2）求二次函数的解析式； （3）该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； （4）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1） ∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6， ∴ A（ 1，0 ）、B（ 7，0 ） （2）设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k， ∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，） ∴y=a(x-4)2+k     ， …………① 又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6， ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………②， 由①②解得a=，k=， ∴二次函数的解析式为：或 （3）利用待定系数法求一次函数解析式， 即直线DB为y=-+ （4）由（1）知点C(4，)， 又∵AM=3， ∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60o， ∵AC=BC，∴∠ACB=120o ①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ， 由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o， ∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)， 如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，) ②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，)， 经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上， 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为 (10，)或(-2，)或(4，)．

据专家权威分析，试题“如图二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的图像

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；