题文

已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac。

（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标； （3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由抛物线过B(0，1) 得c=1， 又b=-4ac，顶点A(-，0)， ∴-==2c=2，∴A(2，0)， 将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0， ∴， 解得：a=，b=-1， 所以，抛物线的解析式为y=x2-x+1。
（2）假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y)， 　　　　　　　　　　　　 作CD⊥x轴于D ，连接AB、AC， ∵A在以BC为直径的圆上， ∴∠BAC=90°， ∴△AOB∽△CDA， ∴OB·CD=OA·AD， 即1·y=2(x-2)， ∴y=2x-4， 由， 解得：x1=10，x2=2， ∴符合题意的点C存在，且坐标为(10，16)或(2，0)， ∵P为圆心，∴P为BC的中点， 当点C坐标为 (10，16)时，取OD中点P1，连结PP1，　 则PP1为梯形OBCD中位线， ∴PP1=(OB+CD)=， ∵D (10，0)，∴P1 (5，0)，∴P (5，)； 当点C坐标为 (2，0)时， 取OA中点P2，连结PP2， 则PP2为△OAB的中位线， ∴PP2=OB=， ∵A(2，0)，∴P2(1，0)，∴P(1，)， 故点P的坐标为(5，)或(1，)。
（3）设B、P、C三点的坐标为B(x1，y1)，P(x2，y2)，C(x3，y3)， 由（2）可知：。

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。