题文

已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+mx+n经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个单位长度的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。 （1）求直线和抛物线的解析式； （2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形； （3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵直线y=kx-3过点A（4，0） ∴0=4k-3，解得k=， ∴直线的解析式为y=x-3， 由直线y=3x-3与y轴交于点C，可知C（0，-3） ∵抛物线y=-x2+mx+n经过点A（4，0）和点C， ∴-×42+4m-3=0，解得m=， ∴抛物线解析式为：y=；
（2）对于抛物线y=， 令y=0，则-x2+x-3=0，解得x1=1，x2=4 ∴B（1，0） ∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t ①若∠Q1P1A=90°，则P1Q1//OC（如图（1）） ∴△AP1Q1∽△AOC ， ，解得t=； ②若∠P2Q2A=90° ∵∠P2AQ2=∠OAC ∴△AP2Q2∽△ACO， ， ，解得t=， ③若∠QAP=90°，此种情况不存在， 综上所述，当t的值为或时，△PQA是直角三角形；
（3）存在，理由：过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图（2）） ∴S△ADF=DF·AE，S△CDF=DF·OE ∴S△ACD=S△ADF+S△CDF=DF·AE+DF·OE=DF×（AE+OE）， =×（DE+EF）×4=×（-x2+x-3-x+3）×4=-x2+6x， ∴S△ACD=-（x-2）2+6（0<x<4） 又0<2<4且二次项系数-<0， ∴当x=2时，S△ACD的面积最大， 而当x=2时，y=， ∴满足条件的D点坐标为D（2，）。	（2）

据专家权威分析，试题“已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，直角三角形的性质及判定，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：