题文

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB。 （1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD（点A落到点C处），求经过B、C、D三点的抛物线的解析式； （2）将（l）中抛物线向右平移两个单位长度，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与抛物线相交于点F，P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD， ∴OC=OA，OD=OB， ∵A（0，3），B（5，0）， ∴C（-3，0），D（0，5）， 设过B、C、D的抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5）， 把D（0，5）代人得a=-； ∴； （2）由题意可知E点坐标为（7，0），平移前抛物线为 ∴向右平移2个单位长度后的抛物线为 解方程组得 ∴F（2，5） 作点E关于对称轴x=3的对称点E′，则E′（-1，0）， ∵|PE-PF|=|PE′-PF|≤E′F， ∴直线E′F与对称轴的交点P是所求的点， 设直线E′F的解析式为y=kx+b，则有2k+b=5，-k+b=0 解得k=，b=， ∴直线E′F的解析式为y=x+， ∴当x=3时，y=， ∴当|PE-PF|取得最大值时，P点坐标为（3，）； （3）设P（3，m），由（2）知E（7，0），（2，5）， 则PE2=（7-3）2+m2=m2+16， EF′=（7-2）2 +52=50， PF′=（3-2）2+（m-5）2=m2-10m+26， ①若∠PEF=90°，则PE2+EF2=PF2， 即m2+16+50=m2-10m+26， 解得m=-4， ∴P1（3，-4）， ②若∠PFE=90°，则PF2+EF2=PE2， 即m2-10m+26+50=m2+16， 解得m=6， ∴P2（3，6）， ③若∠FPE=90°，则PF2+PE2=EF2 即m2-10m+26+m2+16=50， 解得 ∴ 综上所述，存在点P使△EPF为直角三角形，坐标分别是P1（3，-4），P2（3，6），。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，直角三角形的性质及判定，图形旋转，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用直角三角形的性质及判定图形旋转平移

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；