题文

已知：抛物线经过坐标原点。 （1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标； （2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标； （3）过点A作AC∥BP交y轴于点C，求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线经过坐标原点， ∴k2+k=0， 解得：k1=0，k2=-1， ∵k≠0 ∴k=-1 ∴， ∴ （2）令y=0，得， 解得：x1=0，x2=， ∴， A关于y轴的对称点C的坐标是， 联结A′B，直线A′B与y轴的交点即为所求点P， 可求得直线的解析式：， ∴P（0，2）； （3）到直线AP、AC、CP距离相等的点有四个， 如图，由勾股定理得PC=PA=AC=4，所以△PAC为等边三角形， 易证x轴所在直线平分∠PAC，BP是△PAC的一个外角的平分线,作∠PCA的平分线，交x轴于点M1，交过A点的平行线于y轴的直线于点M2，作△PAC的∠PCA相邻外角的平分线，交AM2于点M3，反向延长CM3交x轴于点M4，可得点M1、M2、M3、M4就是到直线AP、AC、CP距离相等的点，可证△APM2、△ACM3、△PCM4均为等边三角形,可求得： ①，所以点M1的坐标为； ②，所以点M2的坐标为； ③点M3与点M2关于x轴对称，所以点M3的坐标为； ④点M4与点A关于y轴对称，所以点M4的坐标为， 综上所述，到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标分别为，，，。

据专家权威分析，试题“已知：抛物线经过坐标原点。（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；（..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，平行线的性质，平行线的公理，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，轴对称，角平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用平行线的性质，平行线的公理等腰三角形的性质，等腰三角形的判定轴对称角平分线的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；