题文

已知二次函数 y=ax2+bx-（a≠0）的图象经过点（1，0），和（-3，0），反比例函数 y1=（x＞0）的图象经过点（1，2）。 （1）求这两个二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象； （2）若反比例函数 y1=（x＞0）的图象与二次函数 y=ax2+bx-（a≠0））的图象在第一象限内交于点A（x0，y0），x0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象写出这两个相邻的正整数； （3）若反比例函数 y2=（k＞0，x＞0））的图象与二次函数 y=ax2+bx-（a≠0）的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）把（1，0），和（-3，0）分别代入y=ax2+bx-（a≠0） 解方程组，得a=，b=1 ∴抛物线解析式为y=x2+x- ∵反比例函数的图象经过点（1，2）， ∴k=2． ∴； （2）正确的画出二次函数和反比例函数在第一象限内的图象 由图象可知，这两个相邻的正整数为1与2； （3）由函数图象或函数性质可知： 当2＜x＜3时，对y=，y随着x的增大而增大， 对y2=（k＞0），y2随着x的增大而减小， 因为A（x0，y0）为二次函数图象与反比例函数图象的交点， 所以当x0=2时，由反比例函数图象在二次函数的图象上方，得y2＞y， 即＞， 解得k＞5， 同理，当x0=3时，由二次函数的图象在反比例函数图象上方的，得y＞y2， 即＞， 解得k＜18， 所以k的取值范围为5＜k＜18。

据专家权威分析，试题“已知二次函数y=ax2+bx-（a≠0）的图象经过点（1，0），和（-3，0），反比..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，反比例函数的图像，二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用反比例函数的图像二次函数的图像

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；