题文

如图，在平行四边形ABCD中，AD=8cm，∠A=60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD。

（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积； （2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒2cm的速度匀速运动，在BC上以每秒4cm的速度匀速运动过Q作直线QN，使QN∥PM设点Q运动的时间为x秒（0≤x≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为ycm2， ①求y关于x的函数关系式； ②求y的最大值。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）当点P运动2秒时，AP=4cm，由∠A=60°，知AE=2，PE=2，∴SΔAPE=； （2）①当0≤x≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F， 则AQ=2x，AF=x，QF=x，AP=2x+4，AG=2+x，PG=2+x， ∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为y=2x+x； 当6≤x≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动，设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F， 则AQ=2x，AF=x，DF=8-x，QF=x，BP=2x-12，CP=20-2x，PG=(20-2x)，而BD=8， 故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为y=-； 当8≤x≤10时，点P和点Q都在BC上运动．设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=40-24x，QF=（40-4x），CP=20-2x，PG=(20-2x)， ∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为y=， 故y关于x的函数关系式为y=； ②当0≤x≤6时，y的最大值为14； 当6≤x≤8时，y的最大值为24； 当8≤x≤10时，y的最大值为24； 所以当x=8时，y有最大值为24。

据专家权威分析，试题“如图，在平行四边形ABCD中，AD=8cm，∠A=60°，BD⊥AD，一动点P从A出..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，二次函数的最大值和最小值，三角形的周长和面积  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用二次函数的最大值和最小值三角形的周长和面积

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；