题文

如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C。 （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）设抛物线的解析式为， ∵抛物线过A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）可得， 解得， ∴抛物线的解析式为；
（2）①当AE为边时， ∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴DE=AO=2，则D在x轴下方不可能， ∴D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）, ②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分， ∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为-1， 由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（-1，-1）， 故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（-3，3），C（-1，-1）。
（3）存在，如图： ∵B（-3，3），C（-1，-1）， 根据勾股定理得： BO2=18，CO2=2，BC2=20， ∴BO2+CO2=BC2， ∴△BOC是直角三角形， 假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似， 设P（x，y）， 由题意知x＞0，y＞0，且， ①若△AMP∽△BOC， 则， 即x+2=3（x2+2x）得：，x2=-2（舍去）， 当时，，即P（）； ②若△PMA∽△BOC， 则， 即：x2+2x=3（x+2） 得：x1=3，x2=-2（舍去） 当x=3时，y=15，即P（3，15）， 故符合条件的点P有两个，分别是P（）或（3，15）。

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C。（1）求..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用平行四边形的性质相似三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：