题文

已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B。 （1）求m的值； （2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形； （3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图，请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点， ∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0， 解得，m=2； （2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1，易得顶点B（1，0）， 当x=0时，y=1，得A（0，1）， 由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）， 过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1， ∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=， 同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1， 于是∠ABO=45°，AB=， ∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC， 因此△ABC是等腰直角三角形；  （3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3， 当x=0时，y=-3； 当y=0时，x=-1或x=3， ∴E（-1，0），F（0，-3）， 即OE=1，OF=3， ①若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M， ∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°， ∴∠P1EM=∠EFO， 得Rt△EFO∽Rt△P1EM， 则， 即EM=3P1M， ∵EM=x1+1，P1M=y1， ∴x1+1=3y1，（*） 由于P1（x1，y1）在抛物线C′上， 则有3（x12-2x1-3）=x1+1， 整理得，3x12-7x1-10=0， 解得，x1=-1（舍）或 x1=， 把x1=代入（*）中可解得，， ∴P1（）， ②若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N， 同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N， 得， 即P2N=3FN， ∵P2N=x2，FN=3+y2， ∴x2=3（3+y2）（**） 由于P2（x2，y2）在抛物线C′上， 则有x2=3（3+x22-2x2-3）， 整理得3x22-7x2=0， 解得x2=0（舍）或， 把代入（**）中可解得，， ∴P2（）， 综上所述，满足条件的P点的坐标为：（）或（）。

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用直角三角形的性质及判定等腰三角形的性质，等腰三角形的判定平移

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。