题文

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H。

（1）直接填写：a=____，b=____，顶点C的坐标为____； （2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）a=-1，b=-2，顶点C的坐标为（-1，4）；
（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E， 由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°， 又∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠1， 又∵∠CED=∠DOA=90°， ∴△CED∽△DOA， ∴， 设D（0，c），则， 变形得，解之得， 综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1）， 使△ACD是以AC为斜边的直角三角形；
（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH， 得∠QCP=∠CAH， 延长CP交x轴于M， ∴AM=CM， ∴AM2=CM2， 设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2， ∴m=2，即M（2，0）， 设直线CM的解析式为y=k1x+b1， 则，解之得， ∴直线CM的解析式， 联立，解之得或（舍去）， ∴， ②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH， 得∠PCQ=∠ACH， 过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N， 由△CFA∽△CAH得， 由△FNA∽△AHC得， ∴，点F坐标为（-5，1）， 设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，解之得， ∴直线CF的解析式， 联立，解之得或（舍去）， ∴， ∴满足条件的点P坐标为或。

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的图像，直角三角形的性质及判定，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的图像直角三角形的性质及判定相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；