题文

如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上。

（1）直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式； （2）过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式； （3）若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM<MN、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范围。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∠ABE=∠CBD=30°； 在△ABE中，AB=6，BC=BE=，CD=BC·tan30°=4， ∴OD=OC-CD=2， ∴B（，6） D（0，2）， 设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b， ，∴， ∴ 所以BD所在直线的函数解析式是； （2）∵EF=EA=ABtan30°=，∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°， 又∵FG⊥OA， ∴FG=EFsin60°=3，GE=EFcos60°=，OG=OA-AE-GE=， 又H为FG中点 ∴H（，）， ∵B（4，6）、D（0，2）、H（，）在抛物线图象上， ∴，∴， ∴抛物线的解析式是； （3）∵MP=， MN=6-， h=MP-MN=， 由得， 该函数简图“略” 当0<x<，h<0，即HP>MN ， 当x=时，h=0，即HP=MN， 当<x<时，h>0，即HP>MN。

据专家权威分析，试题“如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,