题文

如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP。

（1）点B的坐标为____；用含t的式子表示点P的坐标为____； （2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0<t<6）并求t为何值时，S有最大值？ （3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）（6，4）；（）； （2）∵S△OMP=×OM×， ∴S=×（6-t）×=+2t= ∴当t=3时，S有最大值； （3）存在； 由（2）得：当S有最大值时， 点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4）， 则直线ON的函数关系式为：， 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：， 解方程组，得， ∴直线ON与MT的交点R的坐标为， ∵S△OCN=×4×3=6， ∴S△ORT=S△OCN=2， ①当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1， 如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足， 则， ∴， ∴（不合题意，舍去） 此时点T1的坐标为（0，）； ②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE， 如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为， 作R2D2⊥CN交CN于点D2， 则=EN·R2D2===2， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴此时点T2的坐标为（0，）， 综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件。

据专家权威分析，试题“如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，勾股定理，用坐标表示位置  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用勾股定理用坐标表示位置