题文

已知直角坐标系中有一点A（-4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形。 （1）求满足条件的所有点B的坐标； （2）求过O，A，B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）； （3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：作AC⊥x轴，由已知得OC=4，AC=3，OA==5， （1）当OA=OB=5时， 如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（-5，0）， 如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）， 当OA=AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3）， BC=OC，则OB=8，点B的坐标为（-8，0）， 当AB=OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4）， 在x轴上取点D，使AD=OA，可知OD=8， 由∠AOB=∠OAB=∠ODA，可知△AOB∽△ODA，则 ，解得OB=，点B的坐标为（-，0）； （2）当AB=OA时，抛物线过O（0，0），A（-4，3），B（-8，0）三点， 设抛物线的函数表达式为，可得方程组， 解得a=，b=，， （当OA=OB时，同理得） （3）当OA=AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴， 则∠AOC=∠PBE，∠ACO=∠PEB=90°，△AOC∽△PBE， ，设BE=4m，PE=3m，则点P的坐标为（4m-8，-3m）， 代入，解得m=3， 则点P的坐标为（4，-9）， S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48， 若OP∥AB（图略），根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（-12，-9）， S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48， （当OA=OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴， 则∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°，△AOC∽△PBF， ，设BF=4m，PF=3m， 则点P的坐标为（4m-5，-3m），代入，解得m=， 则点P的坐标为（1，-）， S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=， 若OP∥AB（图略）， 作PF⊥x轴，则∠ABC=∠POF，∠ACB=∠PFO=90°，△ABC∽△POF， ，设点P的坐标为（-n，-3n），代入， 解得n=9，则点P的坐标为（-9，-27）， S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75。

据专家权威分析，试题“已知直角坐标系中有一点A（-4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。