题文

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上。∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm。如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动。DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）。 解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？ （2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。（图（3）供同学们做题使用）

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上， ∴AP=AQ， ∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°， ∴∠EQC=45°， ∴∠DEF=∠EQC， ∴CE=CQ， 由题意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t， ∴AQ=8-t， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm， 则AP=10-2t， ∴10-2t=8-t， 解得：t=2， 答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上； （2）过P作PM⊥BE，交BE于M， ∴∠BMP=90°， 在Rt△ABC和Rt△BPM中，， ∴， ∴PM=， ∵BC=6cm，CE=t， ∴BE=6-t， ∴y=S△ABC-S△BPE = =， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当t=3时，y最小=， 答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2； （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上， 过P作PN⊥AC，交AC于N， ∴， ∵， ∴△PAN∽△BAC， ∴， ∴， ∴， ∵NQ=AQ-AN， ∴， ∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上， ∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ， ∵∠FQC=∠PQN， ∴△QCF∽△QNP， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：t=1， 答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上。

据专家权威分析，试题“已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，相似三角形的性质，垂直平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用相似三角形的性质垂直平分线的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax