题文

如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D，E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G。

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由题意，得，解得，b =-1， 所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（-1，）； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M， 因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B， 连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小， 即最小为DH+CH=DH+HB=BD=， 而， ∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=， 设直线BD的解析式为y=k1x+b，则，解得， 所以直线BD的解析式为， 由于BC=2，CE==，Rt△CEG∽△COB， 得CE∶CO=CG∶CB，所以CG=2.5，GO=1.5，G（0，1.5）， 同理可求得直线EF的解析式为， 联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H； （3）设K（t，），xF＜t＜xE， 过K作x轴的垂线交EF于N， 则KN=yK-yN=-， 所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN（t+3）+KN（1-t）=2KN=-t2-3t +5=-（t+）2+， 即当t =-时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（-，）。

据专家权威分析，试题“如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0）..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，轴对称  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用轴对称

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。