题文

如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）。

（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等； （2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式； （3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长； （4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵点D是OA的中点 ∴OD=2， ∴OD=OC 又∵OP是∠COD的角平分线， ∴∠POC=∠POD=45°， ∴△POC≌△POD， ∴PC=PD。 （2）过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求 易知点F的坐标为（2，2），故BF=2，作PM⊥BF， ∵△PBF是等腰直角三角形， ∴PM=BF=1， ∴点P的坐标为（3，3） ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx 又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0）， ∴有 解得 ∴抛物线的解析式为。 （3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点 连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE+PD=EC，而两点之间线段最短）， 此时△PED的周长最小 ∵抛物线y=x2-2x的顶点E的坐标（1，-1），C点的坐标（0，2）， 设CE所在直线的解析式为y=kx+b 则有 解得 ∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2 点P满足 解得 故点P的坐标为 △PED的周长即是。 （4）存在点P，使∠CPN=90度，其坐标是或。

据专家权威分析，试题“如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2）..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，全等三角形的性质，矩形，矩形的性质，矩形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用全等三角形的性质矩形，矩形的性质，矩形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：
  二次函数
  ∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
  ∴y=ax2+bx+c