题文

如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点。

（1）请求出直线AB的函数表达式； （2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数表达式； （3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0）， ∵直线AB经过A（-6，0），B（0，-8）， ∴由此可得，解得 ∴直线的函数表达式为。 （2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得 ∵⊙M经过O，A，B三点，且∠AOB=90°， ∴AB为⊙M的直径， ∴半径MA=5， 设抛物线的对称轴交x轴于点N， ∵MN⊥x， ∴由垂径定理，得 在中， ∴ ∴顶点C的坐标为（-3，1）， 设抛物线的表达式为 ∵它经过B（0，-8）， ∴把x=0，y=-8代入上式 得 解得 ∴抛物线的表达式为。
（3）如图，连接AC，BC 在抛物线中，设 则 解得， ∴D，E的坐标分别是（-4，0），（-2，0）， ∴DE=2； 设在抛物线上存在点P（x，y），使得 则 ∴ 当时， 解得 ∴ 当时， 解得， ∴ 综上所述，这样的点存在，且有三个 。

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求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：