题文

已知二次函数y=-x2+bx+c的图象u图所示，解决下列问题： （1）关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的解为______； （2）求此抛物线的解析式和顶点坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=3两点， ∴方程的解为x1=-1，x2=3（1分） （2）解法一：由图象知：抛物线1=-x2+bx+c的对称轴为x=1， 且与x轴交于点（3，5） ∴ - b 2×(-1) =1 -32+3b+c=5 （3分） 解得： b=2 c=3 （p分） ∴抛物线的解析式为： 1=-x2+2x+3 顶点（1，p）（5分） 解法二：设抛物线解析式为 1=-（x-1）2+k（2分） ∵抛物线与x轴交于点（3，5） ∴（3-1）2+k=5（3分） 解得：k=p（p分） ∴抛物线解析式为 1=-（x-1）2+p 即：抛物线解析式为 1=-x2+2x+3 顶点（1，p）（5分） 解法三：由（1）x1=-1，x2=3可 得抛物线解析式为 1=-（x-3）（x+1）（3分） 整理得：抛物线解析式为 1=-x2+2x+3 顶点（1，p）（5分）

据专家权威分析，试题“已知二次函数y=-x2+bx+c的图象u图所示，解决下列问题：（1）关于x的..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。

• 点拨：
  ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
  ②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂),则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（x₁,0）,(x₂,0),对称轴为x=x₁+x₂/2。
  ③若a>0,当x<x₁,或x>x₂时，y>0;当x₁<x<x₂时，y<0。
  若a< 0,当x₁<x<x₂时，y>0;当x<x₁或x>x₂时，y<0。
  ④如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M（x₁，0），N(x₂，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。