题文

某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．

题型：解答题  难度：中档

答案

解：设有x个学生，y个管理员．该宿舍每位学生与赠一张贺卡， 那么每个人收到的贺卡就是x﹣1张，那么总共就用去了x（x﹣1）张贺卡； 每个人又赠给每一位管理员一张贺卡，那么就用去了xy张贺卡； 每位管理员也回赠舍长一张贺卡，那么就用去了y张贺卡； ∴x（x﹣1）+xy+y=51， ∴51=x（x﹣1）+xy+y ∴x（x﹣1）+x+1=x2+1（当y=1时取“=”）， 解得，x≤7； x（x﹣1）+（x+1）y=51 ∵51是奇数，而x和x﹣1中，有一个是偶数， ∴x（x﹣1）是偶数， ∴（x+1）y是奇数， ∴x是偶数，而x≤7，所以x只有2 4 6三种情况； 当x=2时，y=（不是整数，舍去）； 当x=4时，y=（不是整数，舍去）； 当x=6时，y=3． 所以这个宿舍有6个学生．

据专家权威分析，试题“某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍..”主要考查你对  二元多次（二次以上）方程（组）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二元多次（二次以上）方程（组）

考点名称：二元多次（二次以上）方程（组）

• 定义：二元二次方程组即至少有一个二元二次方程的方程组，另一个是不高于二次的二元整式方程
  二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
  二元二次方程组的一般解法是代入法：
  在（1）中先将x看作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程。因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有代数解。