题文

已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的a、b、c．

题型：解答题  难度：中档

答案

解法一：由1≤a＜b＜c知abc=ab+bc+ca＜3bc， 所以a＜3，故a=1或者a=2． （1）当a=1时，有b+bc+c=bc， 即b+c=0，这与b、c为正整数矛盾． （2）当a=2时，有2b+bc+2c=2bc，即bc-2b-2c=0， 所以（b-2）（c-2）=4， 又因为2＜b＜c，故0＜b-2＜c-2， 于是b-2=1，c-2=4．即b=3，c=6， 所以，符合条件的正整数仅有一组：a=2，b=3，c=6． 解法二：∵ab+bc+ca=abc， ∴ 1 a + 1 b + 1 c =1， ∵a＜b＜c， ∴ 1 a ＞ 1 b ＞ 1 c ， 所以 1 a ＞ 1 3 ，1＜a＜3，a=2． ∴ 1 b + 1 c = 1 2 ， 所以 1 b ＞ 1 4 ，2＜b＜4，b=3． 由上得，c=6， 所以，唯一a=2，b=3，c=6．

据专家权威分析，试题“已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的..”主要考查你对  二元多次（二次以上）方程（组）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二元多次（二次以上）方程（组）

考点名称：二元多次（二次以上）方程（组）

• 定义：二元二次方程组即至少有一个二元二次方程的方程组，另一个是不高于二次的二元整式方程
  二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
  二元二次方程组的一般解法是代入法：
  在（1）中先将x看作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程。因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有代数解。