题文

如图所示，已知AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，

（1）AD是∠BAC的平分线； （2）AB=AC。

题型：证明题  难度：中档

答案

解：（1）∵AD是△ABC的中线 ∴BD=CD 在Rt△EBD和Rt△FCD中 ∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL） ∴DE=DF（全等三角形的对应边相等） 在Rt△AED和Rt△AFD中 ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL） ∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等） 即AD是∠BAC的平分线； （2）∵Rt△AED≌Rt△AFD（已证） ∴AE=AF（全等三角形的对应边相等） 又∵BE=CF（已知） ∴AB=AC。

据专家权威分析，试题“如图所示，已知AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，（..”主要考查你对  角平分线的定义 ，全等三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义 全等三角形的性质

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：全等三角形的性质

• 全等三角形：
  两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
  全等三角形的对应边相等，对应角相等。
  ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
  ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
  ③有公共边的，公共边一定是对应边;
  ④有公共角的，角一定是对应角;
  ⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。

• 全等三角形的性质：
  1.全等三角形的对应角相等。
  2.全等三角形的对应边相等。
  3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
  4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
  5.全等三角形的对应边上的中线相等。
  6.全等三角形面积相等。
  7.全等三角形周长相等。
  8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

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