题文

已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE． （1）如图1，若∠COF=14°，则∠BOE= _________ ；若∠COF=n°，则∠BOE= _________ ，∠BOE与∠COF的数量关系为 _________ ； （2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF=3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE， ∴∠AOE=2∠EOF， ∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE， ∴2（∠COE﹣∠COF）=∠AOB﹣∠BOE， 而∠AOB=160°，∠COE=80°， ∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE， ∴∠BOE=2∠COF， 当∠COF=14°时，∠BOE=28°； 当∠COF=n°时，∠BOE=2n°， 故答案为28°；2n°； ∠BOE=2∠COF． （2）∠BOE=2∠COF仍然成立． 理由如下：∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE， ∴∠AOE=2∠EOF， ∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE， ∴2（∠COE﹣∠COF）=∠AOB﹣∠BOE， 而∠AOB=160°，∠COE=80°， ∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE， ∴∠BOE=2∠COF； （3）存在．设∠AOF=∠EOF=2x， ∵∠DOF=3∠DOE， ∴∠DOE=x，而∠BOD为直角， ∴2x+2x+x+90°=160°， 解得x=14°， ∴∠BOE=90°+x=104°， ∴∠COF=×104 °=52 °（满足∠COF+∠FOE=∠COE=80 °）．

据专家权威分析，试题“已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF=14°，则..”主要考查你对  角平分线的定义 ，垂直的判定与性质，图形旋转  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义 垂直的判定与性质图形旋转

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：垂直的判定与性质

• 垂线的定义：
  两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
  直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
  垂线的性质：
  性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
  性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
  垂直的判定：垂线的定义。

考点名称：图形旋转

• 定义：
  在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
  图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

• 图形旋转性质：
  （1）对应点到旋转中心的距离相等。
  （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
  旋转对称中心
  把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，与原来的图形相吻合，这种图形叫做 旋转对称图形，这个定点叫做 旋转对称中心，旋转的角度叫做 旋转角。（旋转角大于0°小于360°）