题文

如图，AC、BD相交于O，BE、CE分别平分∠ABD、∠ACD，且相交于点E．求证：∠E= 1 2 (∠A+∠D)．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：∵在△AFB和△EFC中，∠A+ 1 2 ∠ABD=∠E+ 1 2 ∠ACD，① 又∵在△AOB和△DOC中，∠D+ 1 2 ∠ACD=∠E+ 1 2 ∠ABD，② ∴①+②，得：2∠E=∠A+∠D， ∴∠E= 1 2 （∠A+∠D）．

据专家权威分析，试题“如图，AC、BD相交于O，BE、CE分别平分∠ABD、∠ACD，且相交于点E．求..”主要考查你对  角平分线的定义 ，三角形的内角和定理，三角形的外角性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义 三角形的内角和定理三角形的外角性质

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。