题文

在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值； （2）当t为何值时，△PQB为直角三角形； （3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）2（2）当t=2或或时，△PQB为直角三角形（3）存在t=或t=2，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上

解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC=∠OAB=90°。 ∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠DOQ=45°。 ∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°。∴AO=AD=2，OD=2。 ∵点P的速度为每秒个单位长度，∴t=（秒）。 （2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°， 如图，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中， ∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°。 ∵OP=t，∴OG=PG=t。∴点P（t，t）。 又∵Q（2t，0），B（6，2）， 根据勾股定理可得： 。 ①若∠PQB=90°，则有PQ2+BQ2=PB2，即： ， 整理得：4t2﹣8t=0，解得：t1=0（舍去），t2=2，∴t=2。 ②若∠PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2，即： ， 整理得：t2﹣10t+20=0，解得：。 ∴当t=2或或时，△PQB为直角三角形。 （3）存在这样的t值。理由如下： 将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形。 ∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（t， t）。 ∵点B坐标为（6，2），∴点B′的坐标为（3t﹣6，t﹣2）。 代入，得：2t2﹣13t+18=0，解得：t1=，t2=2。 ∴存在t=或t=2，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上。 （1）首先根据矩形的性质求出DO的长，进而得出t的值。 （2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可。 （3）存在这样的t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值。

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OAB..”主要考查你对  点、线、面、体   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

点、线、面、体

考点名称：点、线、面、体

• 点动成线，线动成面，面动成体：
  长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。
  包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种。
  夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，这些都给我们以线的形象，面和面相交的地方形成线。
  天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象，线和线相交的地方是点。
  几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。

• 常见几何体的三视图：
  
  

•