题文

如图所示，在△ABC中，O是高AD和BE的交点，观察图形，试猜想∠C和∠DOE之间具有怎样的数量关系，并证明你的猜想结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

∠C+∠DOE=180°． ∵AD，BE是△ABC的高（已知）， ∴∠AEO=∠ADC=90°（高的意义）， ∵∠DOE是△AOE的外角（三角形外角的概念）， ∴∠DOE=∠OAE+∠AEO（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和） =∠OAE+90°（∠AEO=90°） =∠OAE+∠ADC（∠ADC=90°） ∴∠C+∠DOE=∠OAE+∠C+∠ADC=90°+90°=180°． 另法：在四边形CEOD中，∠C+∠EOD+90°+90°=360°， 则∠C+∠EOD=180°．

据专家权威分析，试题“如图所示，在△ABC中，O是高AD和BE的交点，观察图形，试猜想∠C和∠..”主要考查你对  三角形的内角和定理，三角形的外角性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理三角形的外角性质

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。