题文

给定整数n≥3，实数a1，a2，…，an满足min1≤i＜j≤n|ai-aj|=1．求 n k=1 |ak|3的最小值．

题型：解答题  难度：中档

答案

不妨设a1＜a2＜…＜an，则对1≤k≤n，有|ak|+|an-k+1|≥|an-k+1-ak|≥|n+1-2k|， 所以 n k=1 |ak|3= 1 2 n k=1 (|ak|3+|an+1-k|3)= 1 2 n k=1 (|ak|+|an+1-k|)( 3 4 (|ak|-|an+1-k|)2+ 1 4 (|ak|+|an+1-k|)2)≥ 1 8 n k=1 (|ak|+|an+1-k|)3≥ 1 8 n k=1 |n+1-2k|3． 当n为奇数时， n k=1 |n+1-2k|3=2?23? n-1 2 i=1 i3= 1 4 (n2-1)2． 当n为偶数时， n k=1 |n+1-2k|3=2 n 2 i=1 (2i-1)3=2( n j=1 j3- n 2 i=1 (2i)3)= 1 4 n2(n2-2)． 所以，当n为奇数时， n k=1 |ak|3≥ 1 32 (n2-1)2，当n为偶数时， n k=1 |ak|3≥ 1 32 n2(n2-2)，等号均在ai=i- n+1 2 ，i=1，2，n时成立． 因此， n k=1 |ak|3的最小值为 1 32 (n2-1)2（n为奇数），或者 1 32 n2(n2-2)（n为偶数）．

据专家权威分析，试题“给定整数n≥3，实数a1，a2，…，an满足min1≤i＜j≤n|ai-aj|=1．求nk=1..”主要考查你对  整式的加减乘除混合运算  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整式的加减乘除混合运算

考点名称：整式的加减乘除混合运算

• 加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。
  其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
  注意运算顺序，先做乘方，再做乘除，最做加减运算，如果有同类项，就合并同类项，要求结果必须是最简形式。

• 基本运算顺序：
  只有一级运算时，从左到右计算；
  有两级运算时，先乘除,后加减。
  有括号时，先算括号里的；
  有多层括号时，先算小括号里的。
  要是有平方，先算平方。
  在混合运算中，先算括号内的数，括号从小到大，然后从高级到低级。