题文

设a1，a2，…，an都是正数．试证： a 21 a2 + a 22 a3 +…+ a 2n-1 an + a 2n a1 ≥a1+a2+…+an．①

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：欲证①成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证 a 21 a2 + a 22 a1 + a 23 a1 ≥a1+a2+a3…② 把②变形为 （ a 21 a2 -a1）2+（ a 22 a3 -a2）2+（ a 23 a1 -a3）2≥0…③ 即证 a1 a2 (a1-a2)+ a2 a3 (a2-a3)+ a3 a1 (a3-a1)≥0…④ 由于④中左边有（a1-a2），（a2-a3），（a3-a1），其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于（a1-a2），（a2-a3），（a3-a1）之和即可．为此，我们证更简单的事实． 设a，b是任意正整数，则有 a b (a-b)≥(a-b)…⑤ 事实上，由（a-b）2≥0有 a2-ab≥ab-b2， 所以a（a-b）≥b（a-b） 所以 a b ≥（a-b） 根据⑤，④显然成立，因为 a1 a2 (a1-a2)+ a2 a3 (a2-a3)+ a3 a1 (a3-a1)≥（a1-a2）+（a2-a3）+（a3-a1）≥0， 从而③式成立，②式成立． 剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必然成立，因为 a1 a2 (a1-a2)+ a2 a3 (a2-a3)+…+ an-1 an (an-1-a2)+ an a1 (an-a1)≥（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-1-an）+（an-a1）=0

据专家权威分析，试题“设a1，a2，…，an都是正数．试证：a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a1+..”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。