题文

观察以下式子： 1 2 → 1+1 2+1 = 2 3 ＞ 1 2 ， 5 4 → 5+2 4+2 = 7 6 ＜ 5 4 ， 3 5 → 3+5 5+5 = 4 5 ＞ 3 5 ， 7 2 → 7+3 2+3 =2＜ 7 2 ．请你猜想，将一个正分数的分子分母同时加上一个正数，这个分数的变化情况，并证明你的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

猜想：当一个分数的分子小于分母时，分子与分母同加上一个正数后所得的分数大于原来的分数， 当一个分数的分子大于分母时，分子与分母同加上一个正数后所得的分数小于原来的分数， 即设一个分数 b a （a、b均是正数）和一个正数m， 则 b a （a＞b）→ b+m a+m ＞ b a ， b a （a＜b）→ b+m a+m ＜ b a ， 理由是： b+m a+m - b a = a(b+m)-b(a+m) a(a+m) = m(a-b) a(a+m) ， 由于a、b、m均是正数， 所以当a＞b，即a-b＞0时， b+m a+m - b a ＞0， 即 b+m a+m ＞ b a ， 当a＜b，即a-b＜0时， b+m a+m - b a ＜0， 即 b+m a+m ＜ b a ．

据专家权威分析，试题“观察以下式子：12→1+12+1=23＞12，54→5+24+2=76＜54，35→3+55+5=45＞..”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。