题文

问题提出 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N． 问题解决 如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小． 解：由图可知：M=a2+b2，N=2ab． ∴M-N=a2+b2-2ab=（a-b）2． ∵a≠b，∴（a-b）2＞0． ∴M-N＞0． ∴M＞N． 类比应用 （1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为 a+b 2 元/千克和 2ab a+b 元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低． （2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）． 联系拓广 小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

类比应用 （1） a+b 2 - 2ab a+b = (a+b)2-4ab 2(a+b) = (a-b)2 2(a+b) ， ∵a、b是正数，且a≠b， ∴ (a-b)2 2(a+b) ＞0， ∴ a+b 2 ＞ 2ab a+b ， ∴小丽所购买商品的平均价格比小颖的高； （2）由图知，M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c， N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c， M1-N1=2a+4b+2c-（2a+2b+4c）=2（b-c）， ∵b＞c， ∴2（b-c）＞0，即：M1-N1＞0， ∴M1＞N1， ∴第一个矩形大于第二个矩形的周长． 联系拓广 设图5的捆绑绳长为L1，则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c， 设图6的捆绑绳长为L2，则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c， 设图7的捆绑绳长为L3，则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c， ∵L1-L2=4a+4b+8c-（4a+4b+4c）=4c＞0， ∴L1＞L2， ∵L3-L2=6a+4b+6c-（4a+4b+4c）=2a+2c＞0， ∴L3-L1=6a+4b+6c-（4a+4b+8c）=2（a-c）， ∵a＞c， ∴2（a-c）＞0， ∴L3＞L1． ∴第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长．

据专家权威分析，试题“问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数..”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。