题文

一个反比例函数的图象经过点A（1，3），O是原点． （1）点B是反比例函数图象上一点，过点B作BC⊥x轴于C，作BD⊥y轴于D，四边形OCBD的周长为8，求OB长． （2）作直线OA交反比例函数图象于点A′，在反比例函数图象上是否存在点P（记横坐标为m）使得△APA′面积为2m？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设反比例函数的解析式是：y= k x ，把A的坐标代入得：k=3， 则函数的解析式是：y= 3 x ； 设B的坐标是（a，b），则ab=3， ∵四边形OCBD的周长为8， ∴|a|+|b|=4， ∴OB= |a|2+|b|2 = (|a|+|b|)2-2|a||b| = 16-2×3 = 10 ； （2）作直线OA交反比例函数图象于点A′，则A′的坐标是（-1，-3）， AA’所在直线方程为y=3x， AA’=2 10 ，P坐标为（m， 3 m ） 点P到直线 AA’的距离d= |3m- 3 m | 1+32 = |3m- 3 m | 10 面积S= 1 2 ×2 10 ? |3m- 3 m | 10 =|3m- 3 m |=2m， ①3m- 3 m ＞0时，m∈（-1，0）∪（1，+∞）   3m- 3 m =2m，解得m= 3 或- 3 （- 3 不合题意，舍去）； ②3m- 3 m ＜0时，m∈（-∞，-1）∪（0，1）   3m- 3 m =-2m  解得m= 15 5 或- 15 5 （- 15 5 不合题意，舍去）．

据专家权威分析，试题“一个反比例函数的图象经过点A（1，3），O是原点．（1）点B是反比例函数..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。