题文

我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数y= 3 x 的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（-m，O）、C（m，0）． （1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是______； （2）①当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p，α，和m的值； ②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不必说理） （3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标，若不能，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）平行四边形（3分） （2）①∵点B（p，1）在y= 3 x 的图象上， ∴1= 3 p ， ∴p= 3 ．（4分） 过B作BE⊥x轴于E，则OE= 3 ，BE=1 在Rt△BOE中，tanα= BE OE = 1 3 = 3 3 α=30°，（5分） ∴OB=2． 又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点， ∴点B、D关于原点O成中心对称，（6分） ∴OB=OD=2． ∵四边形ABCD为矩形，且A（-m，0），C（m，0） ∴OA=OB=OC=OD=2（7分） ∴m=2；（8分） ②能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个；（9分） （3）四边形ABCD不能是菱形．理由如下：（10分） 若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分， 因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）， 所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上，（11分） 所以BD应在y轴上， 这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾， 所以四边形ABCD不可能为菱形．（12分）

据专家权威分析，试题“我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。