题文

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数y=kx与反比例函数y= 2 3 x 的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（-a，O）、C（a，0）． （1）直接判断并填写：四边形ABCD的形状一定是______； （2）①当点B为（p，2）时，四边形ABCD是矩形，试求p，k，和a的值； ②观察猜想：对①中的a值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不必说理） （3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）是平行四边形． 理由如下： ∵A（-a，0）、C（a，0）， ∴OA=OC， 由对称性可知OB=OD， ∴四边形ABCD为平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）①∵点B为（p，2）， ∴ 2 3 p =2， 解得：p= 3 ， ∴点B（ 3 ，2）， ∴ 3 k=2， 解得：k= 2 3 3 ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OB= 1 2 AC，OC= 1 2 BD， ∴OB=OC， ∵OB= ( 3 )2+22 = 7 ， ∴a= 7 ； ②对①中的a值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个． 理由：当a= 7 时，点C的坐标为（ 7 ，0），点A的坐标为（- 7 ，0）， 若四边形ABCD是矩形，则有OB=OC= 7 ， 设点B的坐标为（x，y），得： x2+y2=( 7 )2 xy=2 3 ， 解得： x= 3 y=2 或 x=2 y= 3 （负值舍去）， ∴点B的坐标为（ 3 ，2）或（2， 3 ）； （3）四边形ABCD不能是菱形． 理由：若四边形ABCD是菱形， 则BD⊥AC， ∵点A、点C在x轴上， ∴直线BD与y轴重合，这与“双曲线y= 2 3 x 不与坐标轴相交”矛盾， ∴四边形ABCD不可能是菱形．

据专家权威分析，试题“如图，在同一直角坐标系中，正比例函数y=kx与反比例函数y=23x的图..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。