题文

如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y= 1 x 的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上． （1）图1中的每一个小正方形的面积是______； （2）按照图1→图2→图→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是______．（用含n的代数式表示）

题型：填空题  难度：中档

答案

（1）作PA⊥y轴于A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，如图1， 设每一个小正方形的边长为a， 易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB， ∴ CE OB = DE OC ， CE AP = DE AB ， ∴ OB OC = AP AB = CE ED = a a =1， 在RtOBC中，BC=a， ∵OB2+OC2=BC2=a2，OB=OC， ∴OB= a 2 ， 在Rt△ABP中，PB=2a， ∵AB2+AP2=BP2=4a2，AB=AP， ∴AB=AP= 2 2 a， ∴OA= 3a 2 ， ∴P点坐标为（ 2a 2 ， 3a 2 ）， ∴ 2a 2 ? 3a 2 =1， ∴a2= 1 3 ； （2）如图2，同样得到Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB， ∴ CE OB = DE OC ， CE AP = DE AB ， ∴ OB OC = AP AB = CE ED = 2a a =2， 在RtOBC中，BC=a， ∵OB2+OC2=BC2=a2，OB=2OC， ∴OB= 2a 5 ， 在Rt△ABP中，PB=3a， ∵AB2+AP2=BP2=9a2，AB=2AP， ∴AB= 3a 5 ，AP= 6a 5 ∴OA= 5a 5 ， ∴P点坐标为（ 6a 5 ， 5a 5 ）， ∴ 6a 5 ? 5a 5 =1， ∴a2= 5 30 ； 如图3，易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB， ∴ CE OB = DE OC ， CE AP = DE AB ， ∴ OB OC = AP AB = CE ED = 3a a =3， 同理可得a2= 10 84 ； 如图4，易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB， ∴ CE OB = DE OC ， CE AP = DE AB ， ∴ OB OC = AP AB = CE ED = 4a a =4， 同理可得a2= 17 180 ； ∵第1个图每一个小正方形的面积= 1 3 = 2 2×3 = 12+1 1×(1+1)×(2+1) ； 第2个图每一个小正方形的面积= 5 30 = 5 6×5 = 22+1 2×(2+1)×(2×2+1) ； 第3个图每一个小正方形的面积= 10 12×7 = 32+1 3×(3+1)(2×3+1) ； 第4个图每一个小正方形的面积= 17 180 = 17 4×5×9 = 42+1 4×(4+1)(2×4+1) ， ∴第n个图每一个小正方形的面积= n2+1 n(n+1)(2n+1) ． 故答案为（1） 1 3 ；（2） n2+1 n(n+1)(2n+1) ．

据专家权威分析，试题“如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。