题文

如果自然数a，b，c满足a2+b2=c2，求证： （1）a，b中至少有一个是偶数； （2）a，b中至少有一个是3的倍数； （3）a，b，c中至少有一个是5的倍数．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：运用反证法证明． （1）假设a、b都是奇数，则c为偶数，c2为4的倍数， 设a=2m+1，b=2n+1（m、n为整数）， 则a2+b2=（2m+1）2+（2n+1）2=2（2m2+2n2+2m+2n+1） 为2的奇数倍，不是4的倍数，与题设矛盾， ∴a，b中至少有一个是偶数； （2）假设a、b都不是3的倍数，则a、b被3除余数为1或2， a2+b2被3除余数为2，即为3m+2（m为整数）， 而3m+2不是完全平方式，故假设不成立， ∴a，b中至少有一个是3的倍数； （3）假设a、b、c都不是5的倍数， ∵完全平方数除以5余数只能0，1，4， 则a2，b2，c2，被5除后余数只能是1、1、1或1、1、4或1、4、4或4、4、4， 这些都不能使a2+b2=c2成立， ∴a、b、c不能同时不整除5．

据专家权威分析，试题“如果自然数a，b，c满足a2+b2=c2，求证：（1）a，b中至少有一个是偶数..”主要考查你对  有理数定义及分类  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数