如果自然数a,b,c满足a2+b2=c2,求证:(1)a,b中至少有一个是偶数;(2)a,b中至少有一个是3的倍数;(3)a,b,c中至少有一个是5的倍数.-数学

题文

如果自然数a,b,c满足a2+b2=c2,求证:
(1)a,b中至少有一个是偶数;
(2)a,b中至少有一个是3的倍数;
(3)a,b,c中至少有一个是5的倍数.
题型:解答题  难度:中档

答案

证明:运用反证法证明.
(1)假设a、b都是奇数,则c为偶数,c2为4的倍数,
设a=2m+1,b=2n+1(m、n为整数),
则a2+b2=(2m+1)2+(2n+1)2=2(2m2+2n2+2m+2n+1)
为2的奇数倍,不是4的倍数,与题设矛盾,
∴a,b中至少有一个是偶数;

(2)假设a、b都不是3的倍数,则a、b被3除余数为1或2,
a2+b2被3除余数为2,即为3m+2(m为整数),
而3m+2不是完全平方式,故假设不成立,
∴a,b中至少有一个是3的倍数;

(3)假设a、b、c都不是5的倍数,
∵完全平方数除以5余数只能0,1,4,
则a2,b2,c2,被5除后余数只能是1、1、1或1、1、4或1、4、4或4、4、4,
这些都不能使a2+b2=c2成立,
∴a、b、c不能同时不整除5.

据专家权威分析,试题“如果自然数a,b,c满足a2+b2=c2,求证:(1)a,b中至少有一个是偶数..”主要考查你对  有理数定义及分类  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

有理数定义及分类

考点名称:有理数定义及分类

  • 有理数的定义:
    有理数是整数和分数的统称,一切有理数都可以化成分数的形式。

  • 有理数的分类:
    (1)按有理数的定义:
                                  正整数 
                     整数{     零 
                                  负整数
    有理数{     
                                正分数 
                    分数{
                                负分数
     

    (2)按有理数的性质分类: 
                               正整数  
                   正数{ 
                               正分数
    有理数{  零
                               负整数 
                   负数{
                               负分数

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