题文

在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：设6张卡片正面写的数是a1、a2、a3、a4、a5、a6，反面写的数对应为b1、b2、b3、b4、b5、b6，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为|a1-b1|，|a2-b2|，|a3-b3|，|a4-b4|，|a5-b5|，|a6-b6|．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值． 于是|a1-b1|+|a2-b2|+|a3-b3|+|a4-b4|+|a5-b5|+|a6-b6|=0+1+2+3+4+5=15是个奇数． 另一方面，|ai-bi|与ai-bi（i=1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同．所以|a1-b1|+|a2-b2|+|a3-b3|+|a4-b4|+|a5-b5|+|a6-b6|与（a1一b1）+（a2一b2）+（a3一b3）+（a4一b4）+（a5一b5）+（a6一b6）=（a1+a2+a3+a4+a5+a6）一（b1+b2+b3+b4+b5+b6）=（1+2+3+4+5+6）一（1+2+3+4+5+6）=O的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾． 所以，|a1-b1|，|a2-b2|，|a3-b3|，|a4-b4|，|a5-b5|，|a6-b6|这6个数中至少有两个是相同的．

据专家权威分析，试题“在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将..”主要考查你对  有理数定义及分类  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数