题文

已知x= n+1 - n n+1 + n ，y= n+1 + n n+1 - n （n为自然数），问：是否存在自然数n，使代数式19x2+36xy+19y2的值为1 998？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

不存在． ∵x+y= n+1 - n n+1 + n + n+1 + n n+1 - n =( n+1 - n )2+( n+1 + n )2 =n+1-2 n(n+1) +n+n+1+n+2 n(n+1) =4n+2． xy= n+1 - n n+1 + n ? n+1 + n n+1- n =1． 假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998． 即19x2+36xy+19y2=1998． 19x2+19y2=1962，（x2+y2）= 1 962 19 ． （x+y）2= 1 962 19 + 38 19 = 2 000 19 .   x+y= 2 000 19 = 20 95 19 ． 由已知条件，得x+y=2（2n+1）． ∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数， ∴x+y= 20 95 19 不为整数． ∴不存在这样的自然数n．

据专家权威分析，试题“已知x=n+1-nn+1+n，y=n+1+nn+1-n（n为自然数），问：是否存在自然数..”主要考查你对  最简二次根式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

最简二次根式

考点名称：最简二次根式

• 最简二次根式定义：
  被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。
  有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

• 最简二次根式同时满足下列三个条件：
  （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
  （2）被开方数中不含有能开的尽的因式；
  （3）被开方数不含分母。

• 最简二次根式判定：
  ①在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数就不是最简二次根式；
  ②在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式。
  
  化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
  ①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
  ②如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。