题文

关于x的方程kx2+(k+2)x+ k 4 =0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两根分别为x1、x2，是否存在实数k，使 1 x1 + 1 x2 =0？若存在，求出k值；若不存在，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由题意得，△=（k+2）2-4k? k 4 ＞0， 解得，k＞-1， 又∵k≠0 ∴k的取值范围是k＞-1且k≠0； （2）不存在符合条件的实数k 理由：∵方程kx2+（k+2）x+ k 4 =0的两根分别为x1、x2， ∴x1+x2=- k+2 k ，x1?x2= 1 4 ， ∵ 1 x1 + 1 x2 =0， 即 x1+x2 x1?x2 =0， 则- k+2 k ÷ 1 4 =0， ∴k=-2， 由（1）知，k=-2时，△＜0，原方程无实数解， ∴不存在符合条件的k的值．

据专家权威分析，试题“关于x的方程kx2+(k+2)x+k4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0