题文

（本题12分）抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1） （3）  P（，） （3）≤m≤5

试题分析： 解： （1）由题意得：，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）令， ∴x1= -1，x2=3，即B（3，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b′， ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为， 设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3）， ∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a， ∴S△BDC=S△PDC+S△PDB ， ∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）； （3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴OF=1，EF=4，OC=3， 过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1， 当M在EF左侧时， ∵∠MNC=90°， 则△MNF∽△NCH， ∴， 设FN=n，则NH=3-n， ∴， 即n2-3n-m+1=0， 关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0， 得m≥， 当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°， 作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°， ∵FM=EF=4， ∴OM=5， 即N为点E时，OM=5， ∴m≤5， 综上，m的变化范围为：≤m≤5． 点评：二次函数的应用是中考的必考题型，考生在解此类问题时一定要注意分析求最大值和最小值所需要函数解决的问题。

据专家权威分析，试题“（本题12分）抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）