题文

如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上． （1）求抛物线的解析式． （2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标． （3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）y=x2-3x （2）m=4 点D的坐标为（2，-2） （3）点P的坐标为（-，-）和（，）

（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可； （2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可； （3）首先求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标． 解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上． 解得： 故抛物线的解析式为：y=x2-3x； （2）设直线OB的解析式为y=k1x（ k1≠0）， 由点B（4，4）得 4="4" k1， 解得k1=1． ∴直线OB的解析式为y=x，∠AOB=45°． ∵B（4，4）， ∴点B向下平移m个单位长度， 所以平移后的一次函数的解析式为：y=x-m。 又因为平移后的直线与抛物线只有一个交点D， 所以x²-3x=x-m，化简得，x²-4x+m=0，只有一个解，Δ=0. Δ=4²-4m=0， 故m=4． ∴平移m个单位长度的直线为y=x-4． 解方程组 解得： ∴点D的坐标为（2，-2）． （3）∵直线OB的解析式y=x，且A（3，0）． ∵点A关于直线OB的对称点A′的坐标为（0，3）． 设直线A′B的解析式为y=k2x+3，此直线过点B（4，4）． ∴4k2+3=4， 解得 k2=． ∴直线A′B的解析式为y=x+3． ∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′B上， 设点N（n，n+3），又点N在抛物线y=x2-3x上， ∴n+3=n2-3n． 解得 n1=-，n2=4（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为（-，）． 如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1， 则 N1（-，-），B1（4，-4）． ∴O、D、B1都在直线y=-x上． 过D点做DP1∥N1B1， ∵△P1OD∽△NOB， ∴△P1OD∽△N1OB1， ∴P1为O N1的中点． ∴==， ∴点P1的坐标为（-，-）． 将△P1OD沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离，点到y轴距离等于P1到x轴距离， ∴此点坐标为：（，）． 综上所述，点P的坐标为（-，-）和（，）．

据专家权威分析，试题“如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c（a..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：