题文

如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C. （1）直接写出A、D、C三点的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标； （3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)；（2）连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，M (1，)；（3）存在，(－2，0)或(6，6).

试题分析：（1）在中令，解得， ∴A(4，0) 、D(－2，0). 在中令，得，∴C(0，－3). （2）连接AC，根据轴对称的性质，AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，从而应用待定系数法求出AC的解析式，再求出抛物线的对称轴，即可求得点M的坐标. （3）分BC为梯形的底边和BC为梯形的腰两种情况讨论即可. 试题解析：（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3) （2）如图，连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求. 设直线AC的解析式为，则，解得. ∴直线AC的解析式为. ∵的对称轴是直线， 把x=1代入得 `∴M(1，). （3）存在，分两种情况： ①如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0). ②如图，当BC为梯形的腰时，过点C作CP//AB，与抛物线交于点P， ∵点C，B关于抛物线对称，∴B(2，－3) 设直线AB的解析式为，则，解得. ∴直线AB的解析式为. ∵CP//AB，∴可设直线CP的解析式为. ∵点C在直线CP上，∴. ∴直线CP的解析式为. 联立，解得， ∴P(6，6). 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(－2，0)或(6，6).

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;